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拓扑学家解释了两项新恶果，它们为令东谈主困惑的四维图形究诘带来了一些递次。
撰文 | Jordana Cepelewicz
翻译 | mathematici
拓扑学的中枢究诘对象是被称为流形的空间。举例，球面即是一个二维流形。拓扑学家绝顶了解这种二维流形。他们还开垦了一些器用，让他们大约清爽三维流形和五维或更多维的流形。
牛津大学博士后究诘员萨姆·休斯（Sam Hughes）说：“但在四维空间中，一切都变得有点荒诞……器用不再起作用，奇异的活动出现了。”正如麻省理工学院的汤姆·莫罗卡（Tom Mrowka）所解释的那样：“有饱胀的空间来产生兴致的景观，但空间又弗成大到让它们土崩认识。”
20世纪90年代初，莫罗卡和哈佛大学的彼得·克朗海默（Peter Kronheimer）正在究诘二维名义怎样镶嵌四维流形。他们开垦了表征这些曲面的新时刻，从而得以深远了解四维流形蓝本难以触及的结构。他们的究诘终了标明，一大类曲面的成员都以相对简便的款式切入其父流形，并保捏一个基本属性不变。但莫得东谈主能解释这极少。
本年2月，休斯与布兰迪斯大学的丹尼尔·鲁伯曼（Daniel Ruberman）一都，构建了一系列反例——“荒诞”的二维曲面，它们以数学家认为不可能的款式剖开母流形。这些反例标明，四维流形比数学家们早几十年厚实到的愈加丰富多彩。“这竟然一篇漂亮的论文，”莫罗卡说。“我一直在看。何处有许多适口的小东西。”
列出清单
客岁年底，鲁伯曼协助组织了一次会议，会议列出了低维拓扑中最遑急的未决问题的新清单。在经营会议的历程中，他搜检了1997年的一份遑急未解拓扑问题清单。其中包括克朗海默确认他与莫罗卡的伙同提议的一个问题。鲁伯曼说：“这个问题就在内部，我认为它有点被渐忘了。”当今他认为他不错回答这个问题了。
活动略这个问题，当先要计划两个关节看法：单连通流形和基本群。
单连通流形是莫得任何孔洞通过的空间。在一维中，无穷直线是单连通的，但圆不是。在二维中，无穷平面和球面是单连通的，但甜甜圈的名义不是。
数学家们通过在流形上摈弃回路，并计划它们怎样变形，来严格永诀这种区别。要是任何环路都不错缩成一个点，那么流形即是单连通的。举例，在平面或球面上，这是可能的——想想拉紧一根绳索。但要是绳索绕着一个圆转，它就无法减轻。相通，股票融资在甜甜圈的名义上，环绕或穿过中心孔的线圈无法变形为一个点。甜甜圈自己就会妨碍变形。
数学家通过策画“基本群”来对非单连通的空间进行分类，“基本群”的结构反馈了轮回怎样减轻。单连通的流形有一个唯唯一个元素的“琐碎”基本群。但有孔洞的流形的基本群则更为复杂。
Merrill Sherman/Quanta Magazine
单连通的四维流形仍然绝顶奇特。为了清爽它们，数学家们会想考镶嵌其中的二维曲面会发生什么变化。
打个譬如，把一圈绳索平铺在一张纸上。你能作念的未几。但把它拉高到三维空间，你就不错把它打成复杂的结。你不错用什么款式来附近绳索——一个一维流形——来发达它所镶嵌的空间的性质。
相通，在更为复杂的四维空间中，二维曲面“在许多不同方面都是通盘业务的关节”，鲁伯曼说，“曲面临四维流形的作用远远超出你的瞎想”。曲面能让你永诀流形：要是一个名义不错在一个流形内糊口，而弗成在另一个流形内糊口，那么你就知谈这两个流形是不同的。曲面不错用来从旧的流形中成立新的流形。
曲面也有相应的基本群。它们的补集亦然如斯——即去掉曲面后流形的剩余部分。举例，把球面或甜甜圈名义等二维流形的赤谈去掉，就会得到两个断开的半球。关联词，要是去掉一个垂直环而不是水平环，配资网甜甜圈的名义仍然是一个举座。相通，确认从四维流形中切割曲面的范例，不错得到不同种类的互补。
Merrill Sherman/Quanta Magazine
早在20世纪90年代，莫罗卡和克朗海默就究诘过从四维流形中切除一个二维曲面会发生什么。要是流形自己是单连通的，那么曲面必须得志什么要求才能保证它们的补集亦然单连通的呢？
克朗海默和莫罗卡知谈，有些曲面的补集可能不是单连通的。但他们的究诘似乎标明，另一大类曲面必须长期具有单连通的补集。
近三十年来，没东谈主能在这一类曲面中找到一个补集不是单连通的例子。但在2023年秋天，鲁伯曼遭逢了这个问题，他认为我方不错作念到。他莫得从四维流形动手切出一个曲面，而是从一个具有必要性质的二维曲面动手，围绕它成立了一个流形。
曲面告诉你的对于四维流形的信息远比你所盼愿的要多得多。 ——丹尼尔-鲁伯曼当先，他将曲面增大为一个四维球体。这个四维球体有一个三维范畴，就像球这么的三维物体有一个二维范畴一样。鲁伯曼但愿在范畴的另一侧附加一个全心挑选的四维流形，动作曲面的补充。要是这一招收效，那么这个流形就会有一个复杂的基本群，而统共物体的基本群加起来又是微不及谈的。因此，新构建的四维流形将是单连通的。
关联词，为了大约以正确的款式把统共东西粘合在一都，他必须解释新增多的流形的基本群得志多样性质。鲁伯曼说：“我十足不知谈该怎样作念。”
本年1月，群表面家休斯在布兰迪斯大学发表了一场演讲。鲁伯曼其时就在听众席上。他坚强到休斯可能有他正在寻找的缺失部分。两东谈主第二天见了面，几个小时内，他们就想出了所需的主要不雅点。休斯说，鲁伯曼所穷乏的“是群体表面家们照旧策画了七八十年的东西”，而“咱们一直在作念这件事”。一周终了时，他们完成了一个解释。
鲁伯曼说：“我知谈一些东西，他也知谈一些东西，咱们两个东谈主知谈的饱胀多了，就这么完成了。”
由于在解释中使用了群论，“这有点不同寻常，”德克萨斯大学奥斯汀分校的玛吉·米勒（Maggie Miller）说：“它的写法与大无数四维拓扑学家的写法有些不同”。
这一终了再次解释了四维拓扑的复杂性。“名义的兴致镶嵌比咱们瞎想的要多得多，”休斯说。这使得流形分类愈加艰难，也更难懂释对于流形的其他终了。
尽管如斯，与鲁伯曼一都组织了客岁列表会议的马萨诸塞大学阿默斯特分校的伊南奇·贝库尔（İnanç Baykur）照旧在3月份布告了1997年列表中另一个触及单连通四维流形问题的照看决策。
看来拓扑学家们正在清算派系。
纠正：2024年4月23日 本文原版称，要是把一个球体或甜甜圈一分为二，就会得到两个半球（hemispheres）。更准确的说法是两个一半（halves）。本文经授权转载自微信公众号“数学家”，译自Quanta Magazine。“数学大院”剪辑整理。
原文集中
https://www.quantamagazine.org/mathematicians-marvel-at-crazy-cuts-through-four-dimensions-20240422/
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休斯鲁伯曼莫罗卡流形曲面发布于：北京市声明：该文不雅点仅代表作家本东谈主，搜狐号系信息发布平台，搜狐仅提供信息存储空间就业。